Геодезические кривые на двумерной поверхности, как известно, являются естественным аналогом прямой линии на плоскости. Поиск двумерных римановых метрик, уравнения геодезических которых интегрируются в квадратурах, является одной из классических задач дифференциальной геометрии. В рамках доклада мы проинтегрируем уравнения геодезических на произвольной поверхности вращения, вложенной в R^3, и нарисуем сами геодезические на некоторых поверхностях вращения «от руки».
В общем случае, согласно теореме Арнольда-Лиувилля, для интегрируемости необходимо наличие дополнительного первого интеграла, независимого от интеграла энергии. Непосредственный поиск такого интеграла обычно является сложной задачей ввиду необходимости решать некоторые системы дифференциальных уравнений в частных производных. Мы обсудим различные вопросы, связанные с построением и исследованием поведения решений таких систем.